Question

4．如图，分别以△ABC的三边a，b，c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S₁+S₂=S₃成立，则△ABC是直角三角形吗？

Answer 1

分析 分别根据正方形的面积公式，等边三角形的面积公式及半圆的面积公式，先用含有a，b，c的式子，表示S₁，S₂，S₃，然后根据S₁+S₂=S₃，得到a，b，c的关系，最后根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC是直角三角形．

解答 解：（1）∵S₁+S₂=S₃，S₁=AC²，S₂=BC²，S₃=AB²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵S₁+S₂=S₃，S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²，S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵S₁+S₂=S₃，S₁=$\frac{π}{8}$AC²，S₂=$\frac{π}{8}$BC²，S₃=$\frac{π}{8}$AB²，
∴$\frac{π}{8}$AC²+$\frac{π}{8}$BC²=$\frac{π}{8}$AB²，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理及正方形面积公式，等边三角形的面积公式，及圆的面积公式的运用，解题关键是明确此题中①图中三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，②图中三角形的边长的平方的$\frac{\sqrt{3}}{4}$倍，即为相应的等边三角形的面积，③图中三角形的边长的平方的$\frac{π}{8}$倍，即为相应的半圆的面积．