Question

16．如图，在?ABCD中，BD是对角线，且BD⊥AD，OA=10cm，DB=12cm，OE⊥AC交CD于E，OF⊥AB于F
（1）求△ADE的周长；
（2）求OF的长．

Answer 1

分析 （1）先证明AE=CE，再根据勾股定理求出AD、AB，即可得出结果；
（2）先证明△BFO∽△BDA，得出对应边成比例，即可求出OF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=10，OD=$\frac{1}{2}$DB=6，AB=CD，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴CD=AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=8+4$\sqrt{13}$；
（2）∵OF⊥AB，
∴∠BFO=90°，
∴∠BFO=∠BDA=90°，
又∵∠OBF=∠ABD，
∴△BFO∽△BDA，
∴$\frac{OF}{AD}=\frac{OB}{AB}$，即$\frac{OF}{8}=\frac{6}{4\sqrt{13}}$，
∴OF=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；（1）把△ADE的周长转化为AD+CD以及（2）中证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．