Question

如图，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时动点Q从点A开始在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为

32

5

个平方单位？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．
（3）（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=

1

2

（6-t）•

8t

5

即可得出结论．

解答：解：（1）解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
由题意，得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以，直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）∵AO=6，BO=8，
∴AB=10，
∴AP=6-t，AQ=2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以

AP

OA

=

AQ

AB

，即

6-t

6

=

2t

10

，解得t=3（秒），
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
∴

AQ

OA

=

AP

AB

，即

2t

6

=

6-t

10

，解得t=

9

5

（秒）；
∴当t为3秒或

9

5

秒时，△APQ与△AOB相似；


（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，sin∠BAO=

OB

AB

=

4

5

，
在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=2t•

4

5

=

8t

5

，
S_△APQ=

1

2

AP•QE=

1

2

（6-t）•

8t

5

，
=-

4

5

t²+

24t

5

=

32

5

，
解得t=3+

15

（秒）或t=3-

15

（秒）．
∴当t=3+

15

秒或3-

15

秒时，△APQ的面积为

32

5

个平方单位

点评：本题考查的是一次函数综合题，根据题意作出辅助线．构造出相似三角形是解答此题的关键．