Question

17．如图，正方形A₁B₁P₁P₂的顶点P₁、P₂在反比例函数y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的图象上，顶点A₁、B₁分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形A₂B₂P₂P₃，顶点A₂在x轴的正半轴上，P₃也在这个反比例函数的图象上，则点P₃的坐标为（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）．

Answer 1

分析 作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，P₃E⊥x轴于E，P₃F⊥P₂D于F，设P₁（a，$\frac{8}{a}$），则CP₁=a，OC=$\frac{8}{a}$，易得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，则OB₁=P₁C=A₁D=a，所以OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{8}{a}$-a，则P₂的坐标为（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），然后把P₂的坐标代入反比例函数y=$\frac{8}{x}$，得到a的方程，解方程求出a，得到P₂的坐标；设P₃的坐标为（b，$\frac{8}{b}$），易得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，则P₃E=P₃F=DE=$\frac{8}{b}$，通过OE=OD+DE=4+$\frac{8}{b}$=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P₃的坐标．

解答 解：作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，P₃E⊥x轴于E，P₃F⊥P₂D于F，如图所示，
则∠P₁CB₁=90°，
∴∠P₁B₁C+∠CP₁B₁=90°，
设P₁（a，$\frac{8}{a}$），则CP₁=a，OC=$\frac{8}{a}$，
∵四边形A₁B₁P₁P₂为正方形，
∴P₁B₁=A₁B₁，∠A₁B₁P₁=∠B₁A₁P₂=90°，
∴∠P₁B₁C+∠A₁B₁O=90°，
∴∠CP₁B₁=∠A₁B₁O，
在△P₁B₁C和△B₁A₁O中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{P}_{1}C{B}_{1}=∠{B}_{1}O{A}_{1}}&{\;}\\{∠C{P}_{1}{B}_{1}=∠{A}_{1}{B}_{1}O}&{\;}\\{{P}_{1}{B}_{1}={A}_{1}{B}_{1}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△P₁B₁C≌△B₁A₁O（AAS），
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
同理：P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{8}{a}$-a，
∴OD=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，
∴P₂的坐标为（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），
把P₂的坐标代入y=$\frac{8}{x}$（x＞0），
得：（$\frac{8}{a}$-a）•$\frac{8}{a}$=8，
解得：a=-2（不合题意，舍去），或a=2，
∴P₂（4，2），
设P₃的坐标为（b，$\frac{8}{b}$），
∵四边形P₂P₃A₂B₂为正方形，
同理可证：△P₂P₃F≌△A₂P₃E，
∴P₃E=P₃F=DE=$\frac{8}{b}$，
∴OE=OD+DE=4+$\frac{8}{b}$，
∴4+$\frac{8}{b}$=b，
解得：b=2+2$\sqrt{3}$，或b=2-2$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∴$\frac{8}{b}$=2$\sqrt{3}$-2，
∴点P₃的坐标为：（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2；
故答案为：2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．