Question

【题目】如图，在中，，以为直径的与边分别交于两点，过点作于点．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；

(2)求证：为的中点．

Answer 1

【答案】（1）与相切，理由详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH＝EH；

（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图，

∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；

（2）证明：连接．

∵四边形为的内接四边形，

．

，

，

，

．

，

，即为的中点．