Question

6．记抛物线y=-x²+2013的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成2013等份，设分点分别为P₁，P₂…P₂₀₁₂，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…Q₂₀₁₂，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂…的面积分别为S₁，S₂，…，这样就记W=S${\;}_{1}^{2}$+S${\;}_{2}^{2}$+…+S${\;}_{2012}^{2}$，W的值为（　　）

• A． $\frac{2013×2012}{4}$
• B． $\frac{2013×2012}{2}$
• C． $\frac{503×2013}{2}$
• D． $\frac{2012×2011}{4}$

Answer 1

分析 S₁、S₂、…、S₂₀₁₂中，所有三角形在y轴上的直角边都是1，因此只需考虑它们的另一条直角边即可；也可以看作，这些三角形面积的平方和等于所有Q点横坐标的平方和，可先表示出点Q的横坐标的平方，结合等差数列即可求出代数式的值．

解答 解：设点Q（$\sqrt{2013-y}$，y）；（0＜y＜2013）
那么 Q_n（$\sqrt{2013-n}$，n）．（1≤n≤2012）
S₁²=$\frac{1}{4}$（2013-1）=$\frac{1}{4}$×2012
S₂²=$\frac{1}{4}$（2013-2）=$\frac{1}{4}$×2011
S₃²=$\frac{1}{4}$（2013-3）=$\frac{1}{4}$×2010
…
S₂₀₁₂²=$\frac{1}{4}$（2013-2012）=$\frac{1}{4}$×1
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S₂₀₁₂²=$\frac{1}{4}$（2012+2011+2010+…+1）=$\frac{1}{4}$×$\frac{2012（2012+1）}{2}$=$\frac{503×2013}{2}$
故选C．

点评 此题的难度适中，把握住每个直角三角形一条直角边都是1是解答题目的关键，此外，还需牢记等差数列的求和公式S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$．