Question

19．已知：如图：在△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CG⊥AB于G．
（1）求证：PE+PF=CG；
（2）当P在BC的延长线上时，其余条件不变，试探索PE，PF，CG的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据已知，过P作PD⊥CG于D，可得矩形PDGE，所以PE=GD，再由矩形PDGE得PD∥AB，又由AB=AC得∠B=∠C，所以∠CPD=∠C，再根据AAS证得△BPE≌△PBG，得CD=PF，即可证得结论．
（2）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABP-S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB（PE+PF），同时可表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CG，从而可得到PE-PF=CG．

解答 证明：过P作PD⊥CG于D，
∵PE⊥AB，CG⊥AB，
∴PE∥CG，PD∥AB，
∴四边形PDGE是矩形，
∴PE=GD，
∵PD∥AB，
∴∠CPD=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CPD=∠C，
在△CDP和△PFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPD=∠C}\\{∠CDP=∠PFC=90°}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△PFC（AAS）
∴CD=PF
∴PE+PF=GD+CD
即PE+PF=CG．
（2）PE-PF=CG．理由如下：
连接AP，如图2．
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP-S_△ACP=$\frac{1}{2}$AB×PE-$\frac{1}{2}$AC×PF=$\frac{1}{2}$AB（PE-PF），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CG，
∴PE-PF=CG．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，（1）关键是作辅助线证矩形PDGE，再证△CDP≌△PFC．（2）关键是利用面积公式将所求联系在一起．