Question

10．如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BC=20cm，AD=10cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于M、N、E．当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）在运动过程中（点P不与B、C重合），连接PN，求证：四边形MBPN为平行四边形；
（2）如图（2），以MN为边向下作正方形MFGN，FG交AD于点H，连结PF、PG，当0＜t＜$\frac{10}{3}$时，求△PFG的面积最大值；
（3）在整个运动过程中，观察图（2）、（3），是否存在某一时刻t，使△PFG为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证出l∥BC，得出比例式$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，证出AM=AN，得出ME=NE，因此MN=2AE=2t，证出MN=BP，即可得出四边形MBPN为平行四边形；
（2）由正方形的性质得出FG=MN=MF=2AE=2t，求出DH=AD-AH=10-3t，得出S_△PFG=$\frac{1}{2}$FG•DH=-3（t-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{25}{3}$，由二次函数的最值即可得出答案；
（3）利用勾股定理得：PF²=2（10-3t）²，PG²=（10-3t）²+（10-t）²，FG²=（2t）²，分三种情况讨论，得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵l⊥AD，BC⊥AD，
∴l∥BC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
∵AB=AC，
∴AM=AN，∵∠BAC=90°，
∴ME=NE，
∴MN=2AE=2t，
∵BP=2t，
∴MN=BP，
∴四边形MBPN为平行四边形；

（2）解：∵四边形MFGN是正方形，
∴FG=MN=MF=2AE=2t，
∵EH=MF=2t，
∴DH=AD-AH=10-3t，
∴S_△PFG=$\frac{1}{2}$FG•DH=$\frac{1}{2}$×2t×（10-3t）=-3（t-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{25}{3}$，
∵a=-3＜0，0＜t＜$\frac{10}{3}$，
∴当t=$\frac{5}{3}$时，S_△PFG最大=$\frac{25}{3}$；

（3）解：存在，当t=$\frac{30±10\sqrt{2}}{7}$或t=5或t=10时，△PFG为等腰三角形；理由如下：
利用勾股定理得：PF²=2（10-3t）²，PG²=（10-3t）²+（10-t）²，又FG²=（2t）²，
当PF=FG时，则2（10-3t）²=（2t）²，
解得：t=$\frac{30±10\sqrt{2}}{7}$，
当PF=PG时，2（10-3t）²=（10-3t）²+（10-t）²，
解得：t=5，或t=0（舍去）；
当FG=PG时，（2t）²=（10-3t）²+（10-t）²，
解得：t=10，或t=$\frac{10}{3}$（舍去）；
综上所述，t=$\frac{30±10\sqrt{2}}{7}$或t=5或t=10时，△PFG为等腰三角形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、正方形的性质、等腰三角形的判定、二次函数的最值、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大．