Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为

 

．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,平行线之间的距离,含30度角的直角三角形

专题：分类讨论

分析：如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，可得四边形CDFE是正方形，则，CD=DF=FE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，所以，可求出AC=2，AB=2

2

，又AB=AF；所以，在直角△AEF中，可运用勾股定理求得DF的长即为点F到BC的距离．

解答：解：（1）如图，延长AC，作FD⊥BC交点为D，FE垂直AC延长线于点E，
∵CF∥AB，∴∠FCD=∠CBA=45°，
∴四边形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，AB=AF，
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
∴AF=2

2

；
∴在直角△AEF中，（2+EC）²+EF²=AF²
∴（2+DF）²+DF²=（ 2

2

）²，
解得，DF=

3

-1；

（2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDFE是正方形，
即，CD=DF=FE=EC，
同理可得，在直角△AEF中，（EC-2）²+EF²=AF²，
∴（FD-2）²+FD²=（ 2

2

）²，
解得FD=

3

+1．
故答案为

3

-1或

3

+1．

点评：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．