Question

13．如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2017次后，顶点B的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由点B的旋转周期为6知点B旋转2017次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形解直角三角形得出点B旋转1次后的坐标即可得．

解答 解：由题意知点B旋转$\frac{360°}{60°}$=6次后与点B重合，即点B的旋转周期为6，
∵2017÷6=336…1，
∴点B旋转2017次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，
如图，OB绕点O顺时针旋转60°得到OB₁，过点B₁作B₁C⊥x轴，

∵△OAB为等边三角形，且A（0，3），
∴OA=OB=OB₁=3，∠AOB=60°，
∴∠BOC=∠B₁OC=30°，
则B₁C=OB₁sin∠B₁OC=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，OC=OB₁cos∠B₁OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴旋转2017次后，顶点B的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
故答案为：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，根据题意得出点B的旋转周期为6及旋转的性质、解直角三角形是解题的关键．