Question

1．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）指出图中的一个等腰三角形，并加以证明；
（2）求证：BE=AF；
（3）若∠ABC=60°，ED=AD，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）根据已知条件得到四边形ADEF是平行四边形，得到AF=DE，根据BD是△ABC的角平分线，得到∠ABD=∠DBE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）根据菱形的判定定理得到四边形ADEF是菱形，根据菱形的性质得到AF=EF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BFE=60°，根据平行线的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△BDE是等腰三角形，
证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（3）∵四边形ADEF是平行四边形，
∵AD=DE，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AF=EF，
∵BE=AF，
∴BE=EF，
∵∠ABC=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BFE=60°，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠BFE=60°．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题（3）的关键．