Question

8．已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．

（1）如图1，若AC=8，BD=6，DH⊥AB于H．求DH的长．
（2）如图2，F是AC上一点，分别过点B，D作过F点的直线的垂线，垂足分别为F和E，若DE=4，EF=3，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用面积法S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•BD=AB•DH，即可解决问题；
（2）如图2中，作BH⊥DE交DE的延长线于H，连接DF，则四边形EFBH是矩形．在Rt△DHB中，求出DH、BH即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OD=OB=3，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•BD=AB•DH，
∴DH=$\frac{24}{5}$．

（2）如图2中，作BH⊥DE交DE的延长线于H，连接DF，则四边形EFBH是矩形．

在Rt△EDF中，DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=5，
易知BF=DF=5，
∴EH=BF=5，BH=EF=3，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．