已知:如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.BC=6cm.AB=10cm．一动点M在边AC上从A向C以3cm/s的速度匀速运动.另一动点N在边BC上同时从C向B以2cm/s的速度匀速运动.当其中一个点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动的时间为x秒．(1)当运动时间x为多少秒时.△CMN的面积为5cm2?(2)当运动时间x为多少秒时.以C.M.N为顶点的三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AB=10cm．一动点M在边AC上从A向C以3cm/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2cm/s的速度匀速运动，当其中一个点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动的时间为x秒．
（1）当运动时间x为多少秒时，△CMN的面积为5cm²？
（2）当运动时间x为多少秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？

分析（1）首先根据勾股定理求得AC的长，然后用x表示出线段MC和NC，利用三角形的面积计算公式列出方程求得时间即可；
（2）分△MCN∽△ACB时和△MCN∽△BCA时两种情况利用相似三角形的性质列出方程求得时间即可．

解答解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AB=10cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵动点M在边AC上从A向C以3cm/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2cm/s的速度匀速运动，运动时间为x秒，
∴AM=3xcm，CN=2xcm，
∴CM=（8-3x）cm，
（1）△CMN的面积为5cm²可得：$\frac{1}{2}$×2x（8-3x）=5，
解得：x=1或x=$\frac{5}{3}$，
答当运动时间x为1或$\frac{5}{3}$秒时，△CMN的面积为5cm²；

（2）当△MCN∽△ACB时，
$\frac{MC}{AC}=\frac{NC}{BC}$，
即：$\frac{8-3x}{8}=\frac{2x}{6}$，
解得：x=$\frac{24}{17}$；
当△MCN∽△BCA时，
$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}$，
即：$\frac{8-3x}{6}=\frac{2x}{8}$，
解得：x=$\frac{16}{9}$，
答：当运动时间x为$\frac{24}{17}$或$\frac{16}{9}$秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．