Question

（1）已知：a²-b²=（a-b）（a+b）；a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）；a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）；按此规律，则：
①a⁵-b⁵=（a-b）（

 

）；
②若a-

1

a

=2，你能根据上述规律求出代数式a³-

1

a3

的值吗？
（2）观察下列各式：
（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
…
③能得到一般情况下（xⁿ-1）÷（x-1）=

 

④根据公式计算：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=

 

．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：规律型

分析：（1）①在式子中，a的指数由高到低，b的指数由低到高，由此规律得出答案即可；
②将a和

1

a

分别看作一个数，代入a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）即可计算；
（2）①根据已知的式子可得到的式子是关于x的一个式子，最高次数是n-1，共有n项；
②把2当作x，即可把所求的式子看成是两个二项式的商的形式，逆用（1）的结果即可求解．

解答：解：（1）①a⁵-b⁵=（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）；
②∵a-

1

a

=2，
∴a³-

1

a3

=（a-

1

a

）（a²+a•

1

a

+

1

a2

）
=（a-

1

a

）（a²+

1

a2

+1）
=（a-

1

a

）（a²+

1

a2

-2+2+1）
=（a-

1

a

）[（a-

1

a

）²+3]
=2×（2²+3）
=14；
（2）①（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+x+1；
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶²+2⁶³=（2⁶⁴-1）÷（2-1）=2⁶⁴-1．

点评：此题考查因式分解的实际运用，从简单的情形考虑，找出运算的规律，利用规律解决问题．