题目内容

在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，若∠A=90°，求∠B的度数；
（2）设∠BAC=α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE=β，如图2所示．
①当点D在线段BC上运动时，试找出α与β之间的关系，并说明理由；
②当点D在线段BC的反向延长线上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请加以说明；若不成立，试找出α与β之间的新关系，并说明理由．

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠B=45°；

（2）①∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=β．
∴α+β=180°；
②当点D在线段BC的反向延长线上运动时，①中的结论不能成立，此时：α=β成立．其理由如下：
类似（2）可证△DAB≌△ECA，
∴∠DBA=∠ECA．
又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA，
而∠ACE=β+∠DCA，
∴α=β．
分析：（1）由AB=AC，得∠B=∠C，再由∠A=90°，求出∠B；
（2）①根据已知条件∠BAC=∠DAE=α，则∠BAD=∠CAE．可证明△ABD≌△ACE．则∠B=∠ACE，∠B+∠ACB=β，从而得出α+β=180°；
②当点D在线段BC的反向延长线上运动时，①中的结论不能成立，可证△DAB≌△ECA，则∠DBA=∠ECA．根据∠DBA=α+∠DCA，则∠ACE=β+∠DCA，从而得出α=β．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．