Question

20．菱形ABCD的边长为4，∠ABC=120°，对角线AC和BD相交于点O，点M是AD边的中点，点N在对角线上，则以线段OM为腰的等腰三角形MON的面积是1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先画出图形以线段OM为腰的等腰三角形MON有5种可能，其中${S}_{△OM{N}_{3}}$=${S}_{△OM{N}_{4}}$=${S}_{△OM{N}_{5}}$，${S}_{△OM{N}_{1}}$=${S}_{△OM{N}_{2}}$，然后分别计算即可解决问题．

解答 解：点N在对角线上，以线段OM为腰的等腰三角形MON，点5有中种可能，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=AD=BC=CD=4，AO=OC，BO=OD，AC⊥DB，∠ABD=∠DBC=60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∵AM=MD，
∴${S}_{△OM{N}_{3}}$=${S}_{△OM{N}_{4}}$=${S}_{△OM{N}_{5}}$=$\frac{1}{4}$S_△ABD=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=$\sqrt{3}$，
∵OM=ON₁=ON₂，
∴${S}_{△OM{N}_{1}}$=${S}_{△OM{N}_{2}}$，
作OE⊥AO垂足为E，∵ME∥DO，AM=MD，
∴AE=EO，EM=$\frac{1}{2}$OD=1，
在RT△AOD中，∵AM=MD，∠AOD=90°，
∴OM=ON₁=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴${S}_{△OM{N}_{1}}$=${S}_{△OM{N}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴以线段OM为腰的等腰三角形MON的面积是1或$\sqrt{3}$．
故答案为1或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确画出图形，面积有两种可能，题目有一定的难度．