Question

15．如图1是边长为a的正三角形，在图1中剪去一个面积最大的矩形得图2，在图2的阴影部分中再分别剪去一个面积最大的矩形得图3…依此类推，则第n个图形中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n-1}}{a}^{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}{a}^{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n+1}}{a}^{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n+2}}{a}^{2}$

Answer 1

分析 如图1，先求出边长为a的等边三角形的面积为：S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}{a}^{2}$，即是图1阴影图形的面积；
如图2，根据相似表示出内接矩形的面积，由二次函数的最值求出矩形的最大面积，并计算差，即是此时阴影图形的面积；
依此类推，计算第n个图形中阴影部分的面积．

解答 解：如图1，作高线AD，
则AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_阴影=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}{a}^{2}$，
如图2，作高线AD，交BC于D，交EG于M，
设EG=x，EF=y，
∵EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴$\frac{EG}{BC}=\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{x}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a-y}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-y，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_矩形EFHG=xy=x（$\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ax，
当x=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$a时，S有最大值，S_大=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（\frac{1}{2}a）^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$（\frac{1}{2}a）$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，
∴S_阴影=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{3}}{a}^{2}$，
如图3，分别设四个矩形的面积为S₁、S₂、S₃、S₄，
由图2可知：EG=$\frac{1}{2}a$，
同理得：S₂=$\frac{\sqrt{3}}{8}$×$（\frac{1}{2}a）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$，
Rt△GHC中，设MN=m，MH=n，
HC=$\frac{a-\frac{1}{2}a}{2}$=$\frac{1}{4}a$，
∵∠C=60°，
∴∠HGC=30°，
tan30°=$\frac{CH}{GH}$，
∴GH=$\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∵MN∥HC，
∴△GMN∽△GHC，
∴$\frac{MN}{HC}$=$\frac{GM}{GH}$，
∴$\frac{m}{\frac{1}{4}a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a-n}{\frac{\sqrt{3}}{4}a}$，
∴n=$\frac{\sqrt{3}}{4}a-\sqrt{3}m$，
∴S₄=mn=m（$\frac{\sqrt{3}}{4}a-\sqrt{3}m$）=-$\sqrt{3}{m}^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$am，
当m=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{2×（-\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{8}a$时，S₄=有最大值，是-$\sqrt{3}$×$（\frac{1}{8}a）^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a×$\frac{1}{8}$a=$\frac{\sqrt{3}}{64}{a}^{2}$，
∴S_阴影=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{64}{a}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{4}}{a}^{2}$，
…
依此类推，则第n个图形中阴影部分的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n+1}}{a}^{2}$；
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、等边三角形、矩形面积的求法、二次函数的最值问题，有难度，计算量大，熟练掌握相似三角形对应边的比等于对应高的比是关键，与二次函数的相结合，利用二次函数的最值求矩形面积的最大值．