Question

4．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角的性质求得∠COB=2∠CDB=60°，然后证明四边形ABDC为平行四边形，从而证得∠A=∠D=30°，根据三角形的内角和定理证得∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，从而证得AC是⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质得出∠OBD=30°，∠BEO=90°，然后通过直角三角函数即可求得BE，根据垂径定理从而求得BD的长．

解答 （1）证明：连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD，
∴BE=DE，
∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4，
∴BE=OBcos30°=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BE=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质，解直角三角形等，连接OC构建直角三角形是解题的关键．