Question

18．如图，抛物线y=-x²+4交x轴于A、B两点，顶点为C．
（1）求△ABC的面积；
（2）在抛物线上求点P，使S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的性质得到A（-2，0），B（2，0），C（0，4），所以△ABC是底边为4，高为4的等腰三角形，利用三角形的面积公式可以求出三角形的面积．
（2）根据△PAB的面积是△ABC的面积的一半，得到点P的纵坐标为±2，然后代入抛物线可以求出点P的横坐标，确定点P的坐标．

解答 解：（1）设y=0，则y=-x²+4=0，
∴x=±2，
设x=0，则y=4，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，4）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
所以△ABC的面积是8．
（2）∵S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∴点P的纵坐标为±2，
当y=2时，代入抛物线有：2=-x²+4，得：x=±$\sqrt{2}$．
当y=-2时，代入抛物线有：-2=-x²+4，得：x=±$\sqrt{6}$．
所以点P的坐标为：（$\sqrt{2}$，2），（-$\sqrt{2}$，2），（$\sqrt{6}$，-2），（-$\sqrt{6}$，-2）．

点评 本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的性质得到A，B，C三点的坐标，然后求出△ABC的面积．（2）根据两个三角形的底相同，而面积有2倍的关系得到点P的纵坐标，利用抛物线求出点P的横坐标．