Question

1．设x₁，x₂是方程x²+x-4=0的两个实数根，求代数式x₁²-5x₂²+10的值．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程解的定义得到x₁²=-x₁+4，x₂²=-x₂+4，则x₁²-5x₂²+10=-x₁+5x₂-6，再利用根与系数的关系得到x₁=-x₂-1，所以原式=6x₂-5，然后解方程x²+x-4=0，把x的值代入原式=6x₂-5中计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²+x-4=0的两个实数根，
∴x₁²+x₁-4=0，x₂²+x₂-4=0，
即x₁²=-x₁+4，x₂²=-x₂+4，
∴x₁²-5x₂²+10=-x₁+4-5（-x₂+4）+10
=-x₁+5x₂-6，
∵x₁，x₂是方程x²+x-4=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-1，
∴x₁=-x₂-1，
∴原式=x₂+1+5x₂-6
=6x₂-5，
解方程x²+x-4=0得x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$，
∴原式=3（-1+$\sqrt{17}$）-5=-8+3$\sqrt{17}$或原式=3（-1-$\sqrt{17}$）-5=-8-3$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．