Question

11．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠ABC的角平分线交AD于E，交AC于G．
（1）比较AE、AG的大小，并说明理由；
（2）作GF⊥BC于F，连结EF，判断四边形AEFG的形状，并说明理由；
（3）若AD=4，BD=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠AGE=∠BED，根据角平分线的定义得到∠ABG=∠DBG，等量代换得到∠BED=∠AGB，于是得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到AG=GF，等量代换得到AE=FG，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到∠BAD=∠C，根据相似三角形的性质得到CD=$\frac{A{D}^{2}}{BD}$=$\frac{16}{3}$，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，设AE=x，则AG=GF=x，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）AE=AG，
理由：∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABG+∠AGB=∠DBG+∠BED=90°，
∴∠AGE=∠BED，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠DBG，
∴∠BED=∠AGB，
∵∠AEG=∠BED，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG；

（2）四边形AEFG是菱形，
理由：∵GF⊥BC，GA⊥AB，BG平分∠ABC，
∴AG=GF，
∴AE=FG，
∵AD⊥BC，
∴AE∥FG，
∴四边形AEFG是菱形；

（3）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△ACD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
∴CD=$\frac{A{D}^{2}}{BD}$=$\frac{16}{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
设AE=x，则AG=GF=x，
∵FG∥AD，
∴△CGF∽△CAD，
∴$\frac{FG}{AD}$=$\frac{CG}{AC}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{\frac{20}{3}-x}{\frac{20}{3}}$，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义，正确是识别图形是解题的关键．