Question

1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当AB=BE=1时，求阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，求$\frac{DB}{HF}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OB，根据直角三角形斜边上的中线性质得DB=DC，则∠DBC=∠C，再根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到∠OBE=∠OEB=∠CED，于是可得到∠DBC+∠OBE=90°，然后根据切线的判定方法可判定BD是⊙O的切线；
（2）连接AE、HO，如图，利用勾股定理计算出AE=$\sqrt{2}$，再利用线段垂直平分线性质得CE=AE=$\sqrt{2}$，所以BC=1+$\sqrt{2}$，接着证明△CAB≌△FEB得到BF=BC=1+$\sqrt{2}$，于是利用勾股定理可计算出EF²=4+2$\sqrt{2}$，然后根据扇形面积公式，利用S_阴影=S_扇形HOF-S_△HOF进行计算即可；
（3）利用DB=$\frac{1}{2}$AC，AC=EF得到BD=$\frac{1}{2}$EF，利用△OFH为等腰直角三角形得到HF=$\sqrt{2}$OF，则HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，于是可计算出$\frac{BD}{HF}$的值．

解答 （1）证明：如图，连接OB，
∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB=∠CED，
∵∠C+∠CED=90°，
∴∠DBC+∠OBE=90°，即∠DBO=90°，
∴OB⊥DB，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：连接AE、HO，如图，
∵AB=BE=1，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∵DF垂直平分AC，
∴CE=AE=$\sqrt{2}$，
∴BC=1+$\sqrt{2}$，
∵∠C+∠CAB=90°，∠DFA+∠CAB=90°，
∴∠C=∠DFA，
在△CAB和△FEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BFE}\\{∠ABC=∠EBF}\\{AB=EB}\end{array}\right.$
∴△CAB≌△FEB，
∴BF=BC=1+$\sqrt{2}$，
∴EF²=BE²+BF²=1²+（1+$\sqrt{2}$）²=4+2$\sqrt{2}$，
∵BH平分∠CBF，
∴∠HBF=$\frac{1}{2}$∠EBF=45°，
∴∠HOF=2∠HBF=90°，
∴S_阴影=S_扇形HOF-S_△HOF=$\frac{90•π•（\frac{EF}{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•（$\frac{EF}{2}$）²=$\frac{（2+\sqrt{2}）π}{8}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）解：∵DB=$\frac{1}{2}$AC，
而AC=EF，
∴BD=$\frac{1}{2}$EF，
∵△OFH为等腰直角三角形，
∴HF=$\sqrt{2}$OF，
∴HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴$\frac{BD}{HF}$=$\frac{\frac{1}{2}EF}{\frac{\sqrt{2}}{2}EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理和切线的判定方法；会应用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用规则面积的和差计算不规则图形的面积．