Question

17．如图，已知点D在△ABC边BC上，且与B，D不重合，AC∥DE，AB∥DF，BC=5．
（1）求证：△BDE∽△DCF；
（2）设S_△ABC=S，若S_{四边形AEDF}=$\frac{2}{5}$S，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据AC∥DE，AB∥DF，可以得到△BDE∽△DCF的条件；
（2）根据相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方和S_△ABC=S，若S_{四边形AEDF}=25S，可以求得BD的长．

解答 （1）证明：∵AC∥DE，AB∥DF，
∴∠EDB=∠C，∠B=∠FDC，
∴△BDE∽△DCF；
（2）设BD=x，则CD=5-x，
∵AC∥DE，AB∥DF，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BCA}}=（\frac{x}{5}）^{2}=\frac{{x}^{2}}{25}$，$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△CBA}}=（\frac{5-x}{5}）^{2}=\frac{（5-x）^{2}}{25}$，
∵S_△ABC=S，若S_{四边形AEDF}=$\frac{2}{5}$S，
∴${S}_{△BDE}=\frac{{x}^{2}}{25}S$，${S}_{△FDC}=\frac{（5-x）^{2}}{25}S$，
∴$\frac{{x}^{2}}{25}S+\frac{（x-5）^{2}}{25}S=S-\frac{2}{5}S$，
解得，x=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
即BD的长是$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．