题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，矩形
的边
在
轴的负半轴上，边
在
轴的正半轴上，且
，
，矩形绕点
按顺时针方向旋转
后得到矩形
．点
的对应点为点
，点
的对应点为点
，点
的对应点为点
，抛物线
过点
．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点
，点
，使以点
为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点在轴上
理由如下：
连接
，如图所示，在
中，
，
，
，
由题意可知：
点在轴上，
点在轴上．
（2）过点作
轴于点
，
在
中，
，
点在第一象限，
点的坐标为
由（1）知
，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为
抛物线经过点，
由题意，将
，
代入
中得
解得
所求抛物线表达式为：
（3）存在符合条件的点，点．
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为
．
由题意可知
为此平行四边形一边，
又
边上的高为2
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得，
，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
当点
的坐标为时，
点的坐标分别为
，
；
当点
的坐标为
时，
点的坐标分别为
，
．
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