Question

如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD。
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；
（3）探究：当点E位于何处时，S_△AEC：S_△BOD=1：4？并加以说明。

Answer 1

解：（1）∵直径AB⊥CD， ∴ ∴∠F=∠ACH， 又∠CAH=∠FAC， ∴△ACH∽△AFC；
（2）AH·AF=AE·AB， 连接FB， ∵AB是直径， ∴∠AFB=∠AEH=90°， 又∠EAH=∠FAB， ∴Rt△AEH∽Rt△AFB， ∴ ∴AH·AF=AE·AB；
（3）当（或）时，S△AEC∶S△BOD=1∶4， ∵直径AB⊥CD， ∴CE=ED， ∵， ∴ ∵⊙O的半径为2， ∴ ∴。