Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由已知条件求出B、C两点的坐标，再设抛物线的表达式是y=ax²+bx+c，将A，B，C三点的坐标代入，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）由（1）中所求解析式可设点P的坐标为（m，-m²+3m+4）．当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①以点A为直角顶点；②以点C为直角顶点；利用勾股定理分别列出关于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标是（4，0），
∴OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OC=OA=4，OB=$\frac{1}{4}$OA=1，
∴点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（-1，0）．
设抛物线的表达式是y=ax²+bx+c，由题意得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式是y=-x²+3x+4；

（2）存在．
设点P的坐标为（m，-m²+3m+4）．
∵A（4，0），C（0，4），
∴AC²=4²+4²=32，AP²=（m-4）²+（-m²+3m+4）²，CP²=m²+（-m²+3m）²．
当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，可分两种情况：
①如图1，如果点A为直角顶点，那么AC²+AP²=CP²，
即32+（m-4）²+（-m²+3m+4）²=m²+（-m²+3m）²，
整理得m²-2m-8=0，
解得m₁=-2，m₂=4（不合题意舍去），
则点P的坐标为（-2，-6）；
②如图2，如果点C为直角顶点，那么AC²+CP²=AP²，
即32+m²+（-m²+3m）²=+（m-4）²+（-m²+3m+4）²，
整理得m²-2m=0，
解得m₁=2，m₂=0（不合题意舍去），
则点P的坐标为（2，6）；
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（-2，-6）或（2，6）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，完全平方公式等知识，难度适中．利用分类讨论与方程思想是解题的关键．