Question

如图，D、E是Rt△ABC的边AB、BC的中点，M、N在斜边AC上，且AM=MN=CN，DM、EN的延长线交于点P．求证：
（1）四边形BNPM是平行四边形；
（2）四边形ABCP是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定

专题：证明题

分析：（1）利用中位线的性质定理得到DM∥BN、NE∥BM，利用两组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；
（2）首先判定四边形ABCP是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．

解答：证明：（1）连接BP，交AC于点O．
∵AD=BD，AM=MN，
∴DM是△ABN的中位线，
∴DM∥BN，同理NE∥BM，
∴四边形BNPM是平行四边形；

（2）∵四边形BNPM是平行四边形，
∴BO=PO，MO=NO，
∵AM=CN，
∴OA=OC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理，难度不大．