Question

如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：∠E=∠C；
（2）当⊙O的半径为3，cosA=

4

5

时，求EF的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,平行线分线段成比例

专题：

分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）首先求出AB，AO的长，设FB为x，利用勾股定理可得：EB²=EF²+BF²，即6²=（2x）²+x²，解方程可求出x的值，进而求出EF的长．

解答：（1）证明：连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD，
∴∠E=∠C；

（2）解：∵在Rt△OBA中，cosA=

4

5

，OB=3，
∴AB=4，AO=5，
∴AD=2．
∴

AB

BE

=

AD

OD

，
∵BD∥OE，
∴

4

BE

=

2

3

，
∴BE=6，
∵OE∥BD，
∴∠EFB=∠CBD=∠OBE=90°，
∵在Rt△OBE中，tanE=

OB

BE

=

3

6

=

1

2

，
∴在Rt△FBE中，tanE=

FB

FE

=

1

2

，
设FB为x，
∵EB²=EF²+BF²
∴6²=（2x）²+x²
∴x=

6 5

5

，
∴EF=

12 5

5

．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．