Question

某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm．请你和他们一起解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．

①图2中弧EF的长为

 

cm，弧MN的长为

 

cm，ME=NF=

 

cm；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所在圆的圆心O，如图3所示．小顾同学发现若将弧EF、MN近似地看做线段，类比相似三角形的性质可得

弧EF的长

弧MN的长

=

OF

ON

，请你帮她证明这一结论．
③根据②中的结论，求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n．
（2）小顾同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图甲和乙所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）①直径根据圆的周长公式即可得出结论；
②设弧MN所在圆的半径为r，所对的圆心角度数为n，再根据弧长公式得出

MN

与

EF

的长，求出其比值即可；
③根据②中的结论求出r的值，再由①中两弧长即可得出n的值．
（2）延长EM交FN于点O，根据∠MON=60°得出△MON和△EOF是等边三角形，故可得出长方形的长，设RS与

EF

交于点P，OP交ZX于点Q，在Rt△OQN中，根据∠QON=30°，OQ=ON•cos30°，故可得出长方形的宽，设正方形边长为xcm，在Rt△BEF中根据勾股定理即可得出x的值．

解答：解：（1）①∵直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm，
∴杯口圆的半径为3cm，杯底圆的半径为2cm，
∴

EF

=2×3π=6πcm，

MN

=2×2π=4πcm，ME=NF=AC=6cm．
故答案为：6π，4π，6；

②设弧MN所在圆的半径为r，所对的圆心角度数为n，则

MN

的长度=

nπr

180

，

EF

的长=

nπ(r+FN)

180

，
所以

EF

MN

=

nπ(r+FN) 180

nπr 180

，即

EF

MN

=

r+NF

r

=

ON+NF

ON

=

OF

ON

；

③由②得，

EF

MN

=

OF

ON

，即

6π

4π

=

r+6

r

，解得r=12，
∵

MN

的长=

nπr

180

，
∴

nπr

180

=4π，即

nπ×12

180

=4π，解得n=60，即弧MN所在圆的半径r等于12cm，及它所对的圆心角的度数为60°；

（2）延长EM交FN于点O，
∵∠MON=60°，
∴△MON和△EOF是等边三角形，
∴EF=长方形的长=12+6=18，
设RS与

EF

交于点P，OP交ZX于点Q，连接OP，
∴OQ⊥MN，MQ=QN，
在Rt△OQN中，∠QON=30°，OQ=ON•cos30°=6

3

，
∴长方形的宽=（18-6

3

）cm，
∵设正方形边长为xcm，
∴在Rt△AOE中，AO²+AE²=OE²，
∵OE=18，
∴BE=BF=9

2

，
即x²+（x-9

2

）²=18²，
化简得，x²+9

2

x-81=0，
解得x=

9

2

（

2

±

6

），
∴正方形边长为

9

2

（

2

+

6

）cm．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到弧长的计算、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，难度适中．