Question

6．（猜想规律题）计算：
①（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1；
②（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1；
③（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=1．
（1）通过以上计算，观察规律，猜想并写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式：（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）=n-（n-1）=1
（2）试验证你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题目所给的运算法则可得规律为：（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）=n-（n-1）=1；
（2）进行二次根式的乘法运算进行计算．

解答 解：（1）①（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=2-1=1；
②（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=3-2=1；
③（2+$\sqrt{3}$）（2-$\sqrt{3}$）=4-3=1；
规律为：（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）
=n-（n-1）
=1；
（2）（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）
=（$\sqrt{n}$）²+$\sqrt{n}•\sqrt{n-1}$-$\sqrt{n}•\sqrt{n-1}$-（$\sqrt{n-1}$）²
=n-（n-1）
=1．
故答案为：1；1；1；（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）=n-（n-1）=1．

点评 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则得出规律．