Question

6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC=$\sqrt{5}$，CD=1，对角线的交点为M，则DM=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由勾股定理在Rt△ABC和Rt△BCD中分别求得BC、BD的长，再证△AMB∽△DMC可得$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AM}{DM}$=$\frac{BM}{CM}$，即$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{AM}{\sqrt{5}-AM}$=$\frac{3-DM}{\sqrt{5}-AM}$，解关于AM、DM的方程组可得答案．

解答 解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，且AB=AC=$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在△BCD中，∵∠BDC=90°，CD=1，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{1}^{2}}$=3，
又∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AM}{DM}$=$\frac{BM}{CM}$，即$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{AM}{DM}$=$\frac{3-DM}{\sqrt{5}-AM}$，
解得：DM=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．