Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式为y=a（x-1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a=$\frac{3}{4}$，于是得到抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，连结BC交直线x=$\frac{5}{2}$于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-4）=3，解得a=$\frac{3}{4}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4），即y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）存在．
因为A（1，0）、B（4，0），
所以抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，
连结BC交直线x=$\frac{5}{2}$于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，
所以此时四边形PAOC的周长最小，
因为BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．