Question

如图，B、C、D三点在同一直线上，分别以BC、CD为边在同侧作两个正三角形△ABC和△ECD，P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，连接PM、PN，探求PM与PN的数量关系及∠MPN的度数，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,三角形中位线定理

专题：探究型

分析：通过△ACD≌△BCE的对应边相等知AD=BE；然后由三角形中位线定理求得PM=PN；由平行线的性质、等量代换以及三角形外角定理来求∠MPN的度数．

解答：解：PM=PN，∠MPN=120°；
理由如下：连接AD、BE．
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，CD=CE，∠ECD=60°；
∴∠ECD+∠ACE=∠BCA+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE（全等三角形的对应角相等），∠CAD=∠CBE（全等三角形的对应角相等）；
又∵P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，
∴PM=

1

2

AD，PN=

1

2

BE，
∴PM=PN；
∵MP∥AD（中位线的性质），
∴∠BPM=∠CDA；
同理，得∠NPD=∠EBC=∠CAD，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPD=180°-∠CDA-∠CAD=∠ACD（等量代换），
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=120°，即∠MPN=120°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及等边三角形的性质．本题中利用三角形中位线定理将所求线段与已知线段联系了起来．