题目内容
7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=$\frac{1}{2}$BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M是AE的中点．（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；
（2）如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN⊥AE；
（3）如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索$\frac{MN}{AC}$的值并直接写出结果．
分析 （1）先证明△ACE是直角三角形，根据CM=$\frac{1}{2}$AE，求出AE即可解决问题．
（2）如图2中，如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF，先证明△DNE≌△BNF，再证明△ABF≌△ACE，推出∠FAB=∠EAC，可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，由此即可解决问题．
（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F，先证明△ABG≌△CAE，得到BG=AE，设BC=2a，在RT△AEF中求出AE，根据中位线定理MN=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$AE，由此即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，
连接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACD=45°，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵DC=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴DE=EC=2，∠DCE=∠EDC=45°，
∴∠ACE=90°，
在RT△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AM=ME，
∴CM=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$．
（2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF．
在△DNE和△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ND=NB}\\{NE=NF}\\{∠DNE=BNF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△BNF，
∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN，
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACE=90°-∠DCB，
∴∠ABF=∠FBN-∠ABN
=∠BDE-∠ABN
=180°-∠DBC-∠DGB-∠ABN
=180°-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN
=180°-（∠DBC+∠ABN）-∠DCB-45°
=180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠DCB=∠ACE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACE}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE．
∴∠FAB=∠EAC，
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∵N为FE中点，M为AE中点，
∴AF∥NM，
∴MN⊥AE．
（3）如图3中，延长DM到G使得MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．
∵△AMG≌△EMD，
∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，
∴AG∥DE，
∴∠F=∠DEC=90°，
∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∠BCD=30°，
∴∠CAF=30°，∠BAG=∠BAC+∠CAF=120°，
∴∠BAG=∠ACE=120°，
在△ABG和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAG=∠ACE}\\{AG=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CAE，
∴BG=AE，
∵BN=ND，DM=MG，
∴BG=AE=2MN，
∵∠FAC=∠BCD=30°，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AC=$\sqrt{2}$a，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，EF=$\sqrt{2}$a，
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$a，
∴MN=$\frac{\sqrt{14}}{4}$a，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{14}}{4}a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考压轴题．
| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象在x、y轴上的交点为A、B，点P是该一次函数的图象上位于x轴上方的一点，作PQ⊥x轴于点Q，以PQ的右侧作正方形PQMN．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．| A． | k≥1 | B． | k＞1 | C． | k≥-1 | D． | k＞-1 |
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b-2c|，Q=|2a-b|-|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．