Question

1．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-$\frac{3}{4}$x与BC边相交于D点，过原点的抛物线y=ax²+bx经过A、D两点．
（1）求抛物线的解析式，并写出对称轴；
（2）试判断△OCD与△ABD是否相似？并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△POD为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标（并在“备用图”中画出P点得到的痕迹）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到OA∥BC，得到D点的纵坐标为-3，求得D（4，-3），把A（6，0），D（4，-3）代入y=ax²+bx即可得到结论；
（2）根据已知条件即可得到结论；
（3）设P（3，m），根据勾股定理得到OP²=9+m²，PD²=（4-3）²+（-3-m）²=m²+6m+10，OD²=3²+4²=25，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∵C（0，-3），
∴D点的纵坐标为-3，
∵直线y=-$\frac{3}{4}$x与BC边相交于D点，
∴D（4，-3），
把A（6，0），D（4，-3）代入y=ax²+bx得，$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b=0}\\{16a+4b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{9}{4}$x，其对称轴为直线x=3；
（2）∵OC=3，CD=4，
∴AB=OC=3，BD=2，
∵$\frac{OC}{CD}=\frac{3}{4}$，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{CD}≠\frac{BD}{AB}$，
∴△OCD与△ABD不相似；
（3）设P（3，m），
∴OP²=9+m²，PD²=（4-3）²+（-3-m）²=m²+6m+10，OD²=3²+4²=25，
∴①当OP²+PD²=OD²时，
即9+m²+m²+6m+10=25，
解得：m=$\frac{-3±\sqrt{21}}{2}$，
②当OP²+OD²=PD²时，
即9+m²+25=m²+6m+10，
解得：m=4，
③当OP²=OD²+PD²时，
即9+m²=m²+6m+10+25，
解得：m=-$\frac{13}{3}$，
∴点P的坐标为：（3，$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$），（3，$\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$），（3，4），（3，-$\frac{13}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系是求点与坐标轴的交点坐标的关键，待定系数求函数解析式，相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；勾股定理的应用．