题目内容

1．如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，现将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与AD边上的点M重合（点M不与A、D重合），折痕EF交AB于点E，交DC于点F，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连结EP．
（1）若M为AD边上的中点：
①请直接写出△AEM的周长为5；
②试判断AE、DP、EP三条线段的等量关系，并说明理由；
（2）如图②，现将矩形ABCD变为边长为k的正方形（其中k为常量，且k≠0），其余条件不变．此时，当点M在AD边上运动时，△PDM的周长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出△PDM的周长．（用含k的代数式表示）

分析 （1）①根据折叠的性质得到EM=EB，即可求出△AEM的周长；
②取EP的中点Q，连接MQ，根据梯形的中位线求出AE+DP=2MQ，根据直角三角形性质得出EP=2MQ，即可得出答案；
（2）当点M在AD边上运动时，△PDM的周长没有发生变化；首先设AE=x，AM=y，则BE=EM=k-x，MD=k-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE2+AM2=EM2，可得k2-y2=8x，易证得Rt△AEM∽Rt△DMP，然后由相似三角形的性质，求得答案．

解答 解：（1）①∵M为AD边上的中点，AD=2，
∴AM=1，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B与AD边上的点M重合（点M不与A、D重合），
∴EM=EB，
∴△AEM的周长为：AE+EM+AM=AE+EB+1M=AB+AM=4+1=5，
故答案为：5．
②如图①，取EP的中点Q，连接MQ，

∵M为AD的中点，
∴AE+DP=2MQ，
由折叠得，∠EMP=∠B=90°，
∴EP=2MQ，
∴EP=AE+DP．
（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=k-x，MD=k-y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE2+AM2=EM2，
∴x2+y2=（k-x）2，
解得：k2-y2=2kx，
∵∠EMP=90°，
∴∠AEM+∠AME=90°，∠DMP+∠AME=90°，
∴∠AEM=∠DMP，
∵∠A=∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴$\frac{AE+AM+EM}{DM+DP+PM}=\frac{AE}{MD}$，
即$\frac{x+y+k-x}{DM+DP+PM}$=$\frac{x}{k-y}$，
（DM+DP+PM）x=（k+y）（k-y）
（DM+DP+PM）x=k2-y2
（DM+DP+PM）x=2kx
DM+DP+PM=2k．
∴△PDM的周长是：2k．

点评 此题考查了折叠的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

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