Question

如图，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=5，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．
（1）当x=

1

4

EF时，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）当CQ=

1

3

CE时，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据三角形的中位线得出EF∥BC，且EF=

1

2

BC推出△EDP∽△CDB，得出相似比是1：8，根据相似三角形的性质得出即可；
（2）延长BQ交EF的延长线于点H，证△QEH∽△QCB，得出

BC

EH

=

CQ

QE

，求出EH=2BC=10，求出PB=PH，推出EH=x+y=2BC=10，即可得出答案．

解答：解：（1）∵E、F分别是AB．AC的中点，x=

1

4

EF，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴

EP

BC

=

1

8

，
∴S_△DPE：S_△DBC=1：64；

（2）延长BQ交EF的延长线于点H，
∵EF∥BC，
∴△QEH∽△QCB，
∴

BC

EH

=

CQ

QE

，
∵CQ=

1

3

CE，
又∵BC=5，
∴EH=2BC=10，
∵△QEH∽△QCB，
∴∠PHQ=∠CBQ，
又∵BQ平分∠CBD，
∴∠CBQ=∠PBQ，
∴∠PHB=∠PBH，
∴PB=PH，
∴EH=PE+PH=PE+PB=x+y=2BC=10，
∴y=-x+10（0＜x＜10）．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．