Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AD=8，∠ABC=∠DAC．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰直角三角形,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）首先连接CD，由直径AD=8，∠ABC=∠DAC，易得△ACD是等腰直角三角形，继而求得AC的长；
（2）首先连接OC，易得∠AOC=90°，然后由S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC求得答案．

解答：解：（1）连接CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠ABC=∠DAC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=AD•sin45°=8×

2

2

=4

2

．

（2）连接OC，
∵∠AOC=2∠D=90°，∠CAD=45°，
∴△AOC是等腰直角三角形，且OA=

1

2

AD=4，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

90×π×42

360

-

1

2

×4×4=4π-8．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．