Question

5．已知x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+3m=0的两个实数根，且x₁、x₂满足不等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+1-3m=0的两个实数根，可推出△=（-2）²-4×3m≥0，根据根与系数的关系可得x₁•x₂=$\frac{3m}{2}$，x₁+x₂=2；且x₁、x₂满足不等式$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，代入即可得到一个关于m的不等式，由此可解得m的取值范围．

解答 解：∵x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+3m=0的两个实数根，
∴△=4-12m≥0，
解得：m≤$\frac{1}{3}$，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=3m，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{2}{3m}$＞1，
解得：m＜$\frac{2}{3}$，
∴m$≤\frac{1}{3}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及一元一次不等式的解法．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系，灵活的应用不等式的性质是解决问题的关键．