Question

7．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC，AD，OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．
（1）求证：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长．（用含π的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明即可；
（2）连接BD，根据弦、弧、圆心角的关系得到∠CAD=∠CDA=∠OAD=30°，根据圆周角定理得到∠DOB=60°，根据切线的性质得到∠OBE=90°，利用弧长公式计算即可．

解答 （1）证明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠OAD，
∴∠CDA=∠ODA，即DA平分∠CDO；
（2）解：连接BD，
∵AC=CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA=∠OAD=90°×$\frac{1}{3}$=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴$\widehat{BD}$的长为：$\frac{60π×6}{180}$2π，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∵CD∥AB，∠OBE=90°，
∴∠E=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3，BE=BD•cos∠DBE=3$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的周长为3+3$\sqrt{3}$+2π．

点评 本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．