Question

【题目】如图，BC＝8cm，点D是线段BC上的一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形CDE，AC、BE相交于点P，则点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，CG，OB，OC，根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BDE=∠ADC，∠ABD=∠EDC=60°，可得AB//DE，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BED，利用SAS可证明△BDE≌△ADC，可得∠BED=∠ACD，进而可证明∠EBD+∠ACD=∠ABD=60°，根据三角形内角和定理可得∠BPC=120°，根据圆周角定理可得点P在△BCP的外接圆上，∠BPC=∠BGC=120°，可得点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为的长，根据圆周角定理可得∠BOC=120°，根据垂径定理可得BF的长，利用勾股定理即可求出OB的长，利用弧长公式求出的长即可得答案.

作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，CG，OB，OC，

∵△ABD和△CDE是等边三角形，

∴∠ABD=∠EDC=60°，

∴AB//DE，∠ABD+∠ADE=∠EDC+∠ADE，

∴∠ABE=∠BED，∠BDE=∠ADC，

在△BDE和△ADC中，，

∴△BDE≌△ADC，

∴∠BED=∠ACD，

∴∠ACD=∠ABE，

∴∠ACD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=∠ABD=60°，

∴∠BPC=180°-（∠ACD+∠EBC）=120°，

∴点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为的长，

∵OG⊥BC，∠BGC=∠BPC=120°，

∴BF=BC=×8=4，∠OGB=∠BGC=60°，

∵OB=OG，

∴△OBG是等边三角形，

∴∠BOG=60°，

∴∠BOC=2∠BOG=120°，∠OBF=30°，

∴OF=OB，

∴OB2=OF2+BF2，即OB2=(OB)2+(4)2,

解得OB=8，（负值舍去），

∴==，

故答案为：