Question

【题目】如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.

（1）求证：△ABE≌△FCE；

（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；

（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当△ABC为等腰三角形时，即 AB＝AC， 矩形ABFC为正方形.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS即可判定全等；

（2）由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；

（3）根据一组邻边相等的矩形是正方形，可知当AB=AC时即满足条件.

试题解析：（1）在ABCD中，AB∥CD ,AB＝CD，∴ ∠BAE＝∠EFC，

∵ E为BC的中点，∴ BE＝EC，

∵ ∠AEB＝∠FEC，∴ △ABE≌△FCE；

（2）由（1）知AB∥CD，即 AB∥CF，

∵△ABE≌△FCE，∴ AB＝FC，∴ 四边形ABFC为平行四边形，

∴ AE＝EF＝AF，

∵ AE＝BC，∴ BC＝AF，∴ABCD是矩形；

（3）当△ABC为等腰三角形时，即 AB＝AC， 矩形ABFC为正方形.