Question

5．如图，已知P为等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=3，PC=4，将线段BP绕点P按逆时针方向旋转60°至PQ的位置．
（1）求证：△ABP≌△CBQ
（2）求证：∠BPC=150°．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明．
（2））由△ABP≌△CBQ，推出PA=QC=4，由BP=BQ，∠PBQ=60°，推出△PBQ是等边三角形，由PQ=3，∠BPQ=60°，在△PQC中，PC²+PQ²=4³+3²=5²=QC²，推出△PQC是直角三角形，推出∠QPC=90°，即可得出∠BPC=∠BPQ+∠QPC=150°．

解答 证明：（1）∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠PBQ=∠ABC，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABP=∠CBQ}\\{BP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ．

（2）∵△ABP≌△CBQ，
∴PA=QC=4，
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ=3，∠BPQ=60°，
∵在△PQC中，PC²+PQ²=4³+3²=5²=QC²，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠QPC=90°，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，熟记性质与等边三角形的判断方法是解题的关键．