Question

已知：如图，抛物线（）与轴交于点( 0，4) ，与轴交于点，，点的坐标为（4，0）.

(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 点是线段上的动点，过点作∥，交于点，连接. 当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为（2，0）. 问: 是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）（1，0）；（3）（，3）或（，3）或（，2）或（，2）

试题分析：（1）由抛物线与轴交于点(0，4)，与轴交于点（4，0）根据待定系数法即可求得结果；
（2）先求得抛物线与x轴的交点坐标，根据勾股定理可得，，，设，的面积用表示，由∥可得， 即，即可表示出CE的长，过点作，垂足为，在Rt中求得∠B的正弦函数，在Rt中即可表示出QM的长，从而可以表示出y关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果；
（3）分为底边、为腰且为顶角、为腰且为顶角三种情况分析即可.
（1）∵抛物线（）与轴交于点(0，4)，与轴交于点（4，0）
∴，解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）令，则，解得，
∴
∴，，
设，的面积用表示，
∵∥
∴ ，即
∴ 
过点作，垂足为

在Rt中，
在Rt中， 
∴
∴当时，的面积最大是3，即点的坐标为（1，0）；
（3）①当为底边时，点的横坐标是1，又点在直线上，直线的解析式为，所以点的坐标是（1，3），所以点的纵坐标为3，代入，得点的坐标为（，3）或（，3）
②当为腰，为顶角时，此时点是以点为圆心，为半径的圆与直线的交点，有两个点，点（4，0）与点重合，舍去，点（2，2），所以点的纵坐标为2，，代入，得点的坐标为（，2）或（，2）
③当为腰，为顶角时，此时点应是以点为圆心，为半径的圆与直线的交点，但是点到的距离为，所以不存在满足条件的点.
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要学生熟练掌握二次函数的性质的应用.