Question

如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）

Answer 1

（1）；（2）；（3）M

试题分析：（1）根据抛物线经过A（－3，0）、C（4，0）设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)，再把B（0，4）代入即可求得结果；
（2）找到变化过程中的不变关系：△CDQ∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求得结果；
（3）因为A、C关于对称，所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值，根据两点之间线段最段，A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值．
（1）设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)
因为B（0，4）在抛物线上，所以4＝a(0＋3)(0－4)，解得
所以抛物线解析式为 
（2）连接DQ，

在Rt△AOB中，
所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7–5＝2
因为BD垂直平分PQ，
所以PD＝QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB＝∠QDB
因为AD＝AB，
所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB
所以即
所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5＝，
所以t的值是；                                        
（3）对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以A（－3，0），C（4，0）两点关于直线对称
连接AQ交直线于点M，则MQ＋MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED＝∠BOA＝90⁰
所以DQ∥AB，
所以∠ BAO＝∠QDE， 
所以△DQE ∽△ABO
所以，即
所以QE＝，DE＝，
所以OE＝OD＋DE＝2＋＝，所以Q（，）
设直线AQ的解析式为
则 由此得
所以直线AQ的解析式为 
由得
则在对称轴上存在点M，使MQ＋MC的值最小．
点评：此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的思维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．