题目内容

如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.

(1)求抛物线的解析式;
(2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
(注:抛物线的对称轴为
(1);(2);(3)M

试题分析:(1)根据抛物线经过A(-3,0)、C(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4),再把B(0,4)代入即可求得结果;
(2)找到变化过程中的不变关系:△CDQ∽△CAB,根据相似三角形的性质即可求得结果;
(3)因为A、C关于对称,所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值,根据两点之间线段最段,A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值.
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4)
因为B(0,4)在抛物线上,所以4=a(0+3)(0-4),解得
所以抛物线解析式为 
(2)连接DQ,

在Rt△AOB中,
所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7,CD=AC-AD=7–5=2
因为BD垂直平分PQ,
所以PD=QD,PQ⊥BD,
所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB,
所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA.∠CDQ=∠CAB,
所以△CDQ∽△CAB
所以
所以AP=AD–DP=AD–DQ=5
所以t的值是;                                        
(3)对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小
理由:因为抛物线的对称轴为
所以A(-3,0),C(4,0)两点关于直线对称
连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴于E,所以∠QED=∠BOA=900
所以DQ∥AB,
所以∠ BAO=∠QDE, 
所以△DQE ∽△ABO
所以,即
所以QE=,DE=
所以OE=OD+DE=2+,所以Q(
设直线AQ的解析式为
 由此得
所以直线AQ的解析式为 

则在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小.
点评:此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合,有较大的思维跳跃,考查了同学们的应变能力和综合思维能力,是一道好题.
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