Question

18．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线AC，BD相交于O点，且AO，BO的长（AO＜BO）分别是一元二次方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的根，求m的值及AC、BD的长．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得出AB=AD=CD=BC=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，求出∠AOB=90°，根据勾股定理得出AO²+BO²=25，根据根与系数的关系得出AO+BO=2m-1，AO×BO=4（m-1），变形后代入求出m的值，即可得出答案．

解答 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∴AO²+BO²=AB²=5²=25，
∵AO，BO的长（AO＜BO）分别是一元二次方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的根，
∴AO+BO=2m-1，AO×BO=4（m-1），
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO×BO=25，
∴（2m-1）²-8（m-1）=25，
解得：m₁=4，m₂=-1，
∵AO+BO=2m-1，AO×BO=4（m-1），
∴当m=-1时，AO×BO=-8＜0，不符合题意，舍去，
即m=4，
则AO+BO=7且AO×BO=12，
∵AO＜BO，
∴AO=3，BO=4，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=8．

点评 本题考查了菱形的性质，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且相等．