Question

20．如图，P是等边三角形ABC内任一点，过点P作PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，分别交BC、AC、AB于点D、E、F．求证：PD+PE+PF=BC．

Answer 1

分析 因为要求证明PD+PE+PF=AB，而PD、PE、PF并不在同一直线上，因此和AB无法进行比较，必须把三者转移到AB上，方可解答．

解答 证明：延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H，
∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，
∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，
∴PD=BG，PH=AF．
又∵△ABC为等边三角形，
∴△FGP和△HPE也是等边三角形，
∴PE=PH=AF，PF=GF，
∴PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB=BC．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．