Question

17．画出二次函数y=x²-2x-5的图象．
（1）利用图象求方程x²-2x-5=0的近似根（结果精确到0.1）；
（2）设该抛物线的顶点为M，它与直线y=-3的两个交点分别为C、D，求△MCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
（2）解方程x²-2x-5=-3，根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2，x₁•x₂=-2，因为抛物线与直线y=-3的两个交点C、D的横坐标就是方程的两个根，所以进而求得CD=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}，•{x}_{2}}$=2$\sqrt{3}$，然后根据三角形的面积公式求得即可．

解答 解：方程x²-2x-5=0根是函数y=x²-2x-5与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x²-2x-5的图象，如图所示，

（1）由图象可知方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在3和4之间．
先求-2和-1之间的根，
当x=-1.4时，y=-0.24；当x=-0.15时，y=0，25；
因此，x=-1.4是方程的一个近似根，
同理，x=3.4是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x²-2x-5=0的近似根为x=-1.4或3.4．
（2）根据题意，得x²-2x-5=-3，
整理得x²-2x-2=0，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-2，
∴CD=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}，•{x}_{2}}$=2$\sqrt{3}$
∴在△CDM中，S_△CDM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$
∴三角形CDM的面积是3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与x轴交点以及与直线的交点的横坐标是相应的一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，数形结合思想的运用是解题的关键．