Question

7．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8cm，点D为AC一点，过点D作DE⊥AC交线段AB于点E，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）当AD为$\sqrt{2}$cm，求四边形BEDM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=$\frac{1}{2}$CE，DM=$\frac{1}{2}$CE，得出BM=DM，再由等腰三角形的性质和三角形的外角性质证出∠BMD=90°即可；
（2）过B作BF⊥DE交DE的延长线于F，推出△BEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{2}$AD=2cm，BF=3$\sqrt{2}$cm，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，根据三角形的面积即刻得到结论．

解答 （1）证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC=90°，
∵∠ABD=90°，点M为EC的中点，
∴DM=BM=CM，
∴∠MBC=∠BCM，∠MCD=∠MDC，
∵∠BME=∠MBC+∠BCM，∠DME=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠ACB=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形；

（2）过B作BF⊥DE交DE的延长线于F，
∵∠ADE=90°，∠A=45°，
∴∠FEB=∠AED=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵AD=$\sqrt{2}$cm，∴AE=$\sqrt{2}$AD=2cm，
∴BE=6cm，∴BF=3$\sqrt{2}$cm，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，
∴DM=BM=5cm，
∴四边形BEDM的面积=S_△BEM+S_△BDE=$\frac{1}{2}×$5×5+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=15.5cm²．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．