Question

如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，作BG⊥AC于点G，交⊙O于点E、F；
（1）求证：∠EBC=∠DEC；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于5，BD=4，求CG的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）证明：连接AD，如图，根据圆周角定理，由AC为直径得到∠ADC=90°，则∠CAD+∠ACD=90°，再由BG⊥AC得到∠EBC+∠ACD=90°，所以∠EBC=∠CAD，接着利用圆周角定理得∠CAD=∠DEC，于是有∠EBC=∠DEC；
（2）易得△ABD为等腰直角三角形，则AD=BD=4，在Rt△ADC中利用勾股定理计算出CD=3，则BC=BD+CD=7，再证明Rt△CBG∽Rt△CAD，然后利用相似比可计算出CE的长．

解答：（1）证明：连接AD，如图，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵BG⊥AC，
∴∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠CAD=∠DEC，
∴∠EBC=∠DEC；
（2）解：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD=4，
在Rt△ADC中，∵AD=4，AC=5，
∴CD=

AC2-AD2

=3，
∴BC=BD+CD=7，
∵∠CBG=∠CAD，
∴Rt△CBG∽Rt△CAD，
∴CG：CD=CB：CA，即CG：3=7：5，
∴CG=

21

5

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．